La Méthode de Monte-Carlo

Cette méthode permet d’effectuer des opérations entre des distributions de données pour en simuler la résultante.

Introduction

La méthode de Monte-Carlo, introduite par Stanislas Marcin Ulam et Nicholas Metropolis en 1949, est un outil puissant utilisé pour simuler des phénomènes et évaluer des probabilités dans divers domaines. Cette méthode repose sur l'utilisation de distributions de données aléatoires pour simuler des résultats obtenus par des opérations algébriques classiques. Son nom, Monte-Carlo, est inspiré des jeux de hasard, notamment le jeu de la roulette, qui est connu pour produire des nombres aléatoires. Dans le contexte du Lean Management (ou “industriel”), la méthode de Monte-Carlo trouve son utilité principalement dans la simulation de flux de travail, de niveaux de fiabilité et d'autres paramètres cruciaux pour l'optimisation des processus.

1 – Recueillir les données de chacune des variables

La première étape est de recueillir les données du sujet que l’on représente sous forme d’histogramme pour en obtenir la distribution.

2 – Identifier le modèle mathématique de notre cas

On définit le modèle mathématique qui fait le lien entre les variables d’entrées et la résultante, autrement dit l’équation Y = f(X). Pour cela, nous allons être dans 3 cas :

• Soit nous sommes dans un cas où nous avons au préalable la formule. Par exemple, nous souhaitons étudier la fiabilité globale d’une ligne de production. On sait que la formule de la fiabilité est MTBF / (TMP + MTBF). On recueillera la distribution des MTBF et TMP de chacun de nos équipements de cette ligne, auquel on appliquera cette formule. Ce sont les seuls cas où nous utiliserons la division et la soustraction.
• Soit nous sommes dans un cas où nos données sont indépendantes. En clair, les tâches sont faites en parallèles. Sans qu’elles aient une interaction entre elles. On utilisera alors l’addition des variables. C’est le cas de l’étude de la taille humaine : elle dépend de la nourriture, de l’ADN de nos parents… qui sont des variables indépendantes les unes des autres.
• Enfin dernier cas, nos tâches sont effectuées en série dans le sens où elles sont dépendantes les unes des autres. C’est le cas typique d’une analyse de flux, où la performance de la machine 2 dépend de la performance de la machine 1. On utilisera alors la multiplication des variables.

3 – Effectuer le calcul

Le principe du calcul de distribution de variable, repose sur le fait que nous souhaitons calculer l’ensemble des probabilités possibles de la résultante, à partir des probabilités des variables d’entrées. On veut donc calculer l’ensemble des combinaisons possibles de ces variables.

Pour cette raison, le calcul s’effectue via une matrice, où l’on met sur la ligne les fréquences de distributions de la première variable et dans la colonne, les fréquences de distribution de la seconde variable. Le croisement de ces 2 éléments représentant notre opération.

On notera que pour une :

• Addition de variables : nous obtenons une distribution Normale
• Multiplication de variables : nous obtenons une distribution de Cauchy
• Division de variables : nous obtenons une distribution de LogNormale
• Soustraction de variables : nous obtenons une distribution Normale

4 – Conclure sur l’hypothèse

Une fois effectué le calcul, nous obtenons un tableau de fréquence de la résultante de notre modèle et donc la distribution de celui-ci. On peut à bon escient effectuer les analyses que l’on souhaite du type :

• J’ai 50% de chance de pouvoir produire 20000 pièces par jour
• La surface de mon lac est de 1000 m2…