La loi hypergéométrique

Très complexe à calculer, cette loi est utilisée pour calculer la probabilité lorsque nous avons un tirage sans remise (un cas très courant, exemple des contrôles qualités).

Introduction

La loi hypergéométrique est une distribution statistique utilisée dans les situations où l'ordre des événements n'a pas d'importance et où les éléments ne sont pas remplacés après leur sélection. Elle est couramment utilisée dans les contrôles qualité, notamment lorsqu'il s'agit de prélever des échantillons de production pour vérifier leur conformité. Dans ce contexte, la loi hypergéométrique permet d'estimer la probabilité de détecter les défauts que nous cherchons, en prenant en compte le nombre total d'éléments dans la population et le nombre d'éléments défectueux.

Le principe

La loi Hypergéométrique fait intervenir dans son calcul la taille de l’échantillon n et la population de référence N. Sa formule étant complexe, on lui préférera le calcul via la loi binomiale lorsque la population N est grande (à partir de 100), d’autant qu’elle impose de connaître la taille N de la population, ce qui n’est pas toujours le cas. Elle est définie de la manière suivante :

Cette fonction a une moyenne de :

et une variance de :

Probabilité d’un événement

Nous sommes dans le cas où l’ordre n’a pas d’importance et il n’y a pas de remise. Il s’agit du cas n°4 du calcul des probabilités.

Exemple

L’exemple le plus parlant est celui du loto. Prenons la première partie du tirage où nous avons 5 chiffres n qui sont tirés parmi une population N de 49. La loi Hypergéométrique permet de calculer notre probabilité d’avoir les 5 chiffres k gagnants.

En suivant le détail des calcules données dans l’article des probabilités, nous trouvons 1906884 combinaisons, soit si l’on joue une fois, 1 chance sur 1906884.

Chiffre que nous retrouvons sur Excel via la formule : Loi.Hypergéométrique.N (5;5;5;49;FAUX)

Le test d’hypothèse

Le test d'hypothèse peut être utilisé pour déterminer si la fréquence d'un événement correspond à sa probabilité théorique. Cela s'applique particulièrement lorsqu'on souhaite évaluer la présence de la parité au sein d'une entreprise, où l'on désire que la probabilité soit de 1/2. Le test d'hypothèse consiste à comparer le résultat réel obtenu avec notre attente théorique, en prenant en compte le niveau de risque souhaité. Ainsi, en utilisant la loi hypergéométrique, nous pouvons déterminer si nos observations sont conformes à nos attentes, en termes de probabilité, selon le seuil de risque fixé.

Étape 1 : les hypothèses

Le test Hypergéométrique peut être un test bilatéral ou unilatéral. On pose les hypothèses suivantes :

Cas bilatéral

H0 : p = p0

H1 : p ≠ p0

Cas unilatéral gauche

H0 : p ≠ p0

H1 : p < p0

Cas unilatéral droit

H0 : p ≠ p0

H1 : p > p0

Étape 2 : calculer la valeur pratique

Notre valeur pratique est simplement le pourcentage observé de Succès.

Étape 3 : calculer la valeur critique

Avec la loi hypergéométrique, Excel ne permet pas de calculer l’inverse de la loi Hypergéométrique et nous devons alors y aller « à tâtons » et comparer notre valeur du risque α avec notre probabilité cumulée.

On calcule la valeur du risque α pour la valeur que nous souhaitons « comparer » avec notre valeur réel.

Pour la calculer, on utilise la formule Excel :

Probabilité d’apparition : P = Loi.Hypergéométrique.N (k ; n ; M ; N ; Faux)

Étape 4 : interprétation