La carte Xbarre-R

La carte Xbarre-R est le pendant de la carte I-mR lorsque nous avons des sous-groupes.

Introduction

On la nomme aussi « graphique moyenne et étendue ». Elle représente notre paramètre vis-à-vis de sa moyenne et de son étendu. On l’utilise pour des données mesurables, dans le cas de production en moyenne et grande série.

Elle a pour avantage d’être plus sensible que la carte I-mR

1. Calculer l’étendue R

Pour la carte aux étendues, on commence par calculer la moyenne des étendues Rbarre. C’est la moyenne des étendues de chaque échantillon.

Exemple :

Nous avons les résultats de 5 prélèvements de 3 pièces. Nous obtenons le tableau suivant :

Nous obtenons l’étendue, en effectuant la moyenne des étendus de chaque groupe, soit dans notre exemple 1,46.

2. Calcul des limites et construction de la carte R

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, on les estime à partir d’un tableau de coefficients. Les formules sont les suivantes :

UCL : limite supérieure = Rbarre * D4

LCL : limite inférieure = Rbarre * D3

En reprenant les données du tableau précédent, nous obtenons

UCL = 3,7595 (D4 étant à 2,575)

LCL = 0 (D3 étant égal à 0 pour des sous-groupes de 3 unités).

3. Calculer la moyenne Xbarre et construire la carte des moyennes

3.1 Calcul de Xbarre

Il s’agit de la moyenne de nos mesures.

3.2 Calcul des limites

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, nous utilisons les formules suivantes :

UCL : limite supérieure = Xbarre + A2 * Rbarre

LCL : limite inférieure = Xbarre – A2 * Rbarre

Exemple :

On reprend, l’exemple précédent :

On calcule la moyenne de chaque échantillon

Nous obtenons :

Xbarre = 10,5

UCL = 11,99 (A2 étant égal à 1,023 pour des sous-groupes de 3 unités)

LCL = 9,01

Interprétation

Carte des moyennes

La carte des moyennes permet d’évaluer la stabilité d'un processus en mettant en évidence le centrage du processus, où le centre du processus reste constant en l'absence de dérives. Cependant, si l'une des mesures dépasse les limites de contrôle établies, cela indique une dérive ou un changement irrégulier et rapide du processus, dans quel cas, il est imminent de le recentrer en portant en priorité notre attention sur le réglage des machines, les caractéristiques des matériaux utilisés et les techniques pratiquées par les opérateurs.

Carte des étendues

La carte des étendues traduit l'uniformité et la cohérence d'un processus. Une étendue étroite indique une grande uniformité, tandis qu'une étendue élargie suggère des variations excessives.

Lors de l'interprétation des critères de la carte des étendues, il est important de prendre en compte la position de la limite supérieure ou inférieure. Si la limite inférieure est validée, cela signifie que la dispersion des données est faible, ce qui indique une amélioration du processus. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire d'agir immédiatement, mais il est recommandé de mener des investigations pour comprendre les raisons de cette amélioration.

En revanche, si la limite supérieure est validée, cela indique une augmentation de la dispersion des données, ce qui nécessite une action corrective. Dans de tels cas, il est généralement possible d'améliorer la situation en mettant en place une maintenance plus rigoureuse et en offrant une formation adéquate aux opérateurs.

Les coefficients à appliquer

Les formules de calcul des limites à 3σ dépendent de coefficients. Ceci est dû au fait que dans la réalité, calculer l’écart-type est statistiquement complexe si on a peu de valeur.

Pour pallier à ce problème, les créateurs de la méthode ont tabulé des coefficients permettant de simplifier les calculs et d’estimer l’écart-type à partir de l’étendu. On calcule l’étendu réduite à partir de la formule :

W = R / σ

Avec :

• R : étendu des valeurs
• σ étant l’écart type

On va en déduire 2 coefficients, calculés à partir de la loi normale, que sont :

• d2 qui représente la moyenne de W
• d3 qui représente l’écart-type de W

Les limites deviennent donc pour les étendues :

Rbarre ± 3 * (d3/d2) * Rbarre

que l’on écrit sous la forme

Rbarre + D3 * Rbarre et Rbarre + D4 * Rbarre

Avec :

• D3 = 1 – 3 * (d3/d2)
• D4 = 1 + 3 * (d3/d2)

Et de la même manière, les limites pour les moyennes sont :

Xbarre ± 3 * (d3/d2) * Rbarre

que l’on écrit sous la forme

Xbarre ± A2 * Rbarre

Avec : A2 = 3 / (√ (n) * d2)

Les différentes valeurs ci-dessus dépendent de la taille des différents échantillons. On rappelle simplement, que si nous prélevons plus d’un échantillon à chaque fois :

La moyenne Xbarre globale est calculée par rapport à la moyenne de chaque prélèvement. 

La moyenne Rbarre globale est également calculée par rapport à l’étendu de chaque sous-groupe.

Extrait de la table

Source

S. M. Zimmerman, M. L. Icenogel (1999) – Statistical quality control

J. Ledolter, C. Burril (1999) – Statistical quality control

D. H. Stamatis (2003) – Statistical process control