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La carte CUSUM

La carte Cusum est encore plus performante que la carte EWMA mais sa mise en œuvre et son interprétation sont plus complexes. Son utilisation est donc à réserver à des cas bien particuliers où la précision est essentielle.

Introduction

Développée en 1954 par E.S. Page, la carte CUSUM (Cumulative Sum traduit par carte des Sommes Cumulées) cumule les écarts par rapport à une cible afin de détecter les dérives dans un processus continu. Utilisée principalement dans l'industrie chimique, elle offre une sensibilité accrue pour repérer les dérives faibles et lentes. Bien que sa mise en œuvre et son interprétation soient plus complexes que la carte EWMA, la carte Cusum est particulièrement adaptée aux situations où la précision est essentielle. Elle peut être utilisée pour des mesures quantitatives ainsi que pour des proportions de non-conformités, en ajustant les formules appropriées.

1 – Choisir les paramètres de sensibilité de la carte

La première étape de cette méthode si particulière consiste à identifier les paramètres k et h qui sont liés à la sensibilité de la carte :

  • k : Le paramètre de sensibilité k est une pénalité imposée de façon à restreindre le nombre de fausses alertes. Cette constante est fonction de l’importance de l’écart que l’on souhaite détecter. Plus k est petit, plus on décèle de faibles dérives mais plus on augmente le risque de fausses alertes.
  • h : le paramètre h représente les limites de contrôles.

Le tableau ci-dessous (norme NF-X06-031-4), nous donne en fonction du niveau de précision que nous souhaitons, la valeur de nos paramètres.

Nombre d'échantillons pour une fausse alarme

Déréglage :

δ * √n

1003705001000
0,5

k = 0,25

h = 5,6

POM1 = 19

k = 0,25

h = 8,01

POM1 = 28,8

k = 0,25

h = 8,585

POM1 = 31,1

k = 0,25

h = 9,93

POM1 = 36,4

0,75

k = 0,375

h = 4,33

POM1 = 19,3

k = 0,375

h = 6

POM1 = 19,3

k = 0,375

h = 6,39

POM1 = 16,6

k = 0,375

h = 7,3

POM1 = 19,1

1

k = 0,5

h = 3,502

POM1 = 7,4

k = 0,5

h = 4,77

POM1 = 9,9

k = 0,5

h = 5,07

POM1 = 10,5

k = 0,5

h = 5,758

POM1 = 11,9

1,5

k = 0,75

h = 2,48

POM1 = 4

k = 0,75

h = 3,34

POM1 = 5,2

k = 0,75

h = 3,54

POM1 = 5,4

k = 0,75

h = 4

POM1 = 6,1

2

k = 1

h = 1,874

POM1 = 2,6

k = 1

h = 2,516

POM1 = 3,3

k = 1

h = 2,665

POM1 = 3,4

k = 1

h = 3,01

POM1 = 3,8

2,5

k = 1,25

h = 1,46

POM1 = 1,87

k = 1,25

h = 1,986

POM1 = 2,29

k = 1,25

h = 2,105

POM1 = 2,39

k = 1,25

h = 2,379

POM1 = 2,61

3

k = 1,5

h = 1,132

POM1 = 1,44

k = 1,5

h = 1,604

POM1 = 1,72

k = 1,5

h = 1,708

POM1 = 1,79

k = 1,5

h = 1,943

POM1 = 1,95

Utilisation du tableau

On souhaite avoir au maximum une fausse alarme tous les 500 échantillons. On souhaite également détecter un déréglage de ± 1 écart-type en 3 ou 4 échantillons maximums. Pour cela :

  • On choisit dans le tableau la colonne ayant une POM0 (Périodes Opérationnelles Maîtrisées) de 500.
  • Dans cette colonne, on cherche une valeur POM1 (Périodes Opérationnelles non Maîtrisées) qui se rapproche le plus de 3 ou 4. On trouve une cellule avec 3,4.
  • On identifie alors nos valeurs k = 1 et h = 2,665.
  • En effectuant le chemin inverse, on déduit que n est de 2,56, on prend donc 3.

2 – Déduire les points

On calcule les différents points des 2 courbes que nous allons suivre. De part son principe, la valeur centrale de carte est toujours de 0. Les formules respectives des deux courbes sont les suivantes :

SHi = Max(0;Xibarre – (cible + K) + SHi-1)

SLi = Min(0;(cible – K) – Xibarre + SLi-1)

Avec :

  • xibarre : moyenne des données de nos échantillons.
  • K = k * σ
  • H = h * σ
  • n : le nombre de données par échantillon.
  • σ : Ecart type de l’ensemble de nos données.

3 – Calculer les limites de contrôles

Les limites de contrôles sont dépendantes du niveau de précision h que nous avons déterminé ci-dessus. La formule est la suivante :

UCL = h

LCL = -h

4 – Interprétation

L’interprétation est la même que pour la carte EWMA. Ainsi, si un point sort de la limite haute ou basse, il faut agir pour recentrer le processus.

De la même manière, il faudra en cas de recentrage reprendre à 0 la carte de contrôle.

Enfin, si la carte CUSUM est très performante pour détecter des dérives lentes, elle l’est en revanche moins que la carte de SHEWHART pour détecter des dérives rapides. L’idéal consiste donc à utiliser l’ensemble des trois cartes : CUSUM, moyenne Xbarre (ou valeurs individuelles I) et étendues R.

Source

E.S. Page (1954) – Continuous inspection schemes

J. M. Lucas, R. B. Crosier (1982) – Fast initial response for Cusum quality control schemes

D. M. Hawkins, D. H. Olwell (1998) – Cumulative sum charts and charting for quality improvement

A. Rose (2005) – Appliquer la maîtrise statistique des procédés à la fabrication de comprimes en pellicules.

A. Grous (2013) – Contrôle de qualité appliquée

D. Duret (2008) – Qualité de la mesure en production

Norme NF X 06-031-4